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赌博每次输的时候,都把赌本翻倍,能保证必胜吗?

时间:2016-10-24 16:51 来源:未知 作者:admin
先丢结论,这是公平游戏 fair game,问题中的策略不能保证赢钱。

这是一个简单的停时Stopping time问题,我们可以先把问题简化成下面的数学模型。
假设初始下注不变为1单位,资本为2^m-1个单位(为了防止有人钻牛角尖,我们定义资本为赌徒所有能够凑到的钱,当然包括借来的钱),经过 k回合之后所拥有的资本为X_k。那么按照问题的定义,显然一旦赢了就意味着一大轮的结束,这个时候赌徒的资本是2^m,然后重新从1个单位开始下注,如此往复。同时我们考虑到实际情况一旦赌徒用光所有的钱,游戏也没有办法继续下去了。 我们引入一个随机时间,停时\tau:=\inf\{k>0|X_k = 0 \text{ or } X_k = 2^m\},通俗的来讲这个这个停时表示第一次输光或者第一次赢的时间,这个时间也是一个随机数,我们并不知道它是多少。

每回合都是一个输赢五五开的局,那么这个X_k实际上就是一个鞅(martingale)。放在这个语境下来讲就是,在任何时刻,我们对受益的期望都是0(输赢五五开嘛),对资本X_k的期望始终等于现在拥有的资本。写成式子就是:
\mathbb{E}[X_k] = 2^m-1

鞅理论里面一个关于停时的重要结论是:
如果X_k是一个鞅,那么 X_\tau也是鞅。所以呢
\mathbb{E}[X_\tau] = 2^m-1
由于 X_\tau要么是0要么是2^m分别对应的概率是 p和1-p,结合上面的期望很容易得出 p = \frac{1}{2^m}
于是乎我们发现输的血本无归的概率总是不可避免,除非当 m 足够大,p 可以无限接近0。看似稳赢版了,但这个时候我们的一轮下来的收益率则低的可怜了只有\frac{1}{2^m-1},也是无限接近于0。所以这个策略不说发财了,养家都不行的。
本质上这是一个公平游戏,没有套利空间。

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圣彼得堡悖论换成概率的话来讲,给定k回合赢钱为X_k = 0或者2^k,停时\tau:=\inf\{k>0|X_k > 0 \}赌局停止。问题:愿意出多少钱M(常数)可以构造一个期望为0的鞅 -M+X_\tau。事实上由于\mathbb{E}[X_\tau] =  +\infty,我们无法构造出这样的鞅,M=无穷并不能解决问题,因为\mathbb{E}[-\infty+X_\tau] =  -\infty+\infty \neq 0。所以不能说出无穷多的钱,就可以构造一个公平赌局。

如果读过概率的教材,有很大很大一部分关于期望的问题都有一个期望有限的前提,所以这个悖论实际上是是在『无穷』的问题上采用了在『有限』假设上得出的结论而产生的。